TEOREMA DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW, MANUEL E. SERRANO CABALLERO

Teorema de imposibilidad de Arrow

Manuel E.  Serrano Caballero

Licenciado en Matemática Fundamental. Profesor de enseñanza secundaria.

(FUENTE: Revista Florilegio. http://florilegio.es)

El 23 de agosto de 2021 se ha cumplido un siglo del nacimiento de Kenneth J. Arrow, quien obtuvo en 1972 , junto a John Hicks, el Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel (Premio Nobel de Economía). Destacado economista, estadístico y politólogo estadounidense, publicó en 1951 su obra "Elección social y valores individuales", basada en su tesis doctoral, en la que expuso el teorema de imposibilidad (o paradoja de Arrow) que lleva su nombre. En el intento de cómo traducir un conjunto de preferencias individuales dispares en decisiones colectivas que cumplan unos requisitos racionales mínimos, Arrow demostró la imposibilidad de encontrar una forma democrática de decisión colectiva que los cumpla. En general, el teorema muestra que no es posible diseñar reglas para la toma de decisiones sociales o políticas que obedezcan estrictamente a criterios de racionalidad.

      Este teorema lo estableció Arrow cuando se planteó que, si cada individuo de una sociedad tiene  un orden de preferencia entre diferentes opciones, se debería encontrar una regla de elección social que transformara estos órdenes de preferencias individuales en un orden colectivo. Y todo ello debiendo satisfacer unas condiciones deseables.
Para la demostración del teorema estableció como hipótesis los siguientes criterios de racionalidad:

·  Universalidad: todas las posibles combinaciones de ordenamiento se pueden elaborar.

·  No imposición (criterio de Pareto): no puede haber ninguna forma de coerción para la ordenación de las preferencias individuales.

·  Ausencia de dictadura: ningún individuo puede determinar el orden de preferencias a otro individuo.

·  Independencia de las alternativas relevantes: si se restringe la regla de elección a un subconjunto de opciones, el resultado deberá ser compatible con el obtenido al aplicarla al conjunto completo.

· Monotonía: si un individuo modifica su orden de preferencia, el de la sociedad deberá  promover esa misma opción o, a lo sumo, no cambiarla.

         Es interesante señalar que ya en el siglo XVII el marqués de Condorcet, matemático, filósofo y politólogo francés, observó el mismo problema al intentar encontrar el tamaño óptimo de los jurados de la Revolución Francesa y lo publicó en su trabajo "Ensayo sobre la aplicación del análisis a la probabilidad de las decisiones sometidas a la pluralidad de voces", describiendo la intransitividad posible de la mayoría. Cabe la posibilidad de que una mayoría prefiera A a B, otra B a C y una tercera escoja C antes que A. Así, mientras que las decisiones individuales son claras, las adoptadas por una mayoría popular pueden tener incoherencias. En esta paradoja, Condorcet puso en entredicho determinados sistemas de votación, no a la democracia. Un claro y reciente ejemplo puede observarse en las elecciones presidenciales de Estados Unidos de 2016, los electores tuvieron que elegir primero entre Hillary Clinton y Bernie Sanders y después entre el elegido y Donald Trump, ganador de las elecciones. Este resultado pudo ser distinto del que arrojaría otro orden en los emparejamientos.

      Veamos, con un ejemplo de más opciones, cómo con diferentes sistemas de votación clásicos podemos obtener diferentes resultados.Supongamos que 55 electores tienen que elegir entre cinco alternativas: A, B, C, D y E, y el orden de preferencia de todos ellos es:

 

18	12	10	9	4	2
A D E C B	B E D C A	C B E D A	D C E B A	E B D C A	E C D B A

 

Según diferentes métodos de votación veamos el resultado.

1º.Votación única.

Los resultados son:

A	B	C	D	E
18 votos	12 votos	10 votos	9 votos	6 votos

 

y así sale elegida la alternativa A.

2º. Votación a dos vueltas (sistema de votación francés).

En la primera votación gana A con 18 votos y B con 12. En la segunda votación, entre A  y B, queda A con 18 votos y B con 37 votos. De modo que la alternativa ganadora es B.

3º. Votación por eliminación de la última. Se realizan cuatro votaciones eliminando la última alternativa en cada una de ellas.

1ª Votación	A:18	B:12	C:10	D:9	E:6 Eliminada
2ª Votación	A:18	B:16	C:12	D:9 Eliminada
3ª Votación	C:21	A:18	B:16 Eliminada
4ª Votación	C:37	A:18 Eliminada

4º. Votación ponderada. Se asignan 5 puntos a la primera opción de los electores, 4 a la segunda, 3 a la tercera, 2 a la cuarta y 1 punto a la última.

Este sistema lo propuso en 1780 el matemático francés Jean-Charles de Borda por considerarlo más justo que el que se utilizaba en la Academia de Ciencias. Duró 20 años pues fue prohibido por Napoleón.

• Puntos obtenidos para A, 5x18+1x12+1x10+1x9+1x4+1x2 = 127
• Puntos obtenidos para B, 1x18+5x12+4x10+2x9+4x4+2x2 = 156
• Puntos obtenidos para C, 2x18+2x12+5x10+4x9+2x4+4x2 = 162 
• Puntos obtenidos para D, 4x18+3x12+2x10+5x9+3x4+3x2 = 191
• Puntos obtenidos para E, 3x18+4x12+3x10+3x9+5x4+5x2 = 189 

La alternativa ganadora es D.

5º. Votación por el método de Condorcet. Se hace una votación entre cada dos alternativas (10 votaciones en total), en el caso de que una de ellas supere a las demás, sale elegida.

 

Parejas	A-B	A-C	A-D	A-E	B-C	B-D	B-E	C-D	C-E	D-E
Votos	18-37	18-37	18-37	18-37	16-39	26-29	22-33	12-43	19-36	27-28
Ganadora	B	C	D	E	C	D	E	D	E	E

 

         Se obtiene que la ganadora es E.

       Conviene destacar que el ejemplo anterior es uno de los muchos que podrían plantearse, es más, conocidas las preferencias de los electores es habitual que algunos de los sistemas de votación den resultados diferentes.

    Deducir del teorema de Arrow que ningún sistema de votación es justo no es preciso, debería establecerse de manera clara qué se entiende por ser justo. Las hipótesis del teorema, detalladas como criterios de racionalidad, imponen unas condiciones suficientemente fuertes como para realizar la demostración y en ningún momento se plantean términos de justicia. Si se elimina algún criterio, y en especial el más restrictivo que es el de la independencia de las alternativas irrelevantes, puede demostrarse que diversos sistemas de votación (algunos métodos de Condorcet) cumplen el resto de condiciones.

      Por último, es conveniente destacar que el teorema no se plantea únicamente en relación a los sistemas de votación, sino que abarca un campo mucho más amplio. Es más, puede encontrarse su enunciado de la siguiente forma: resulta inviable elaborar una función de bienestar social a partir de funciones de bienestar individual sin infringir ciertas condiciones mínimas de racionalidad y equidad. Por ello, se reconoce a Kenneth Arrow como el fundador de la moderna teoría económica de la elección social y sus estudios son los cimientos sobre los que se desarrolló la teoría de la decisión.